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ベルンハルト・リーマン

ベルンハルト・リーマン
ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826年9月17日 - 1866年7月20日)はドイツ数学者解析学幾何学、数論の分野で業績を上げた。アーベル関数に関する研究によって当時の数学者から高く評価されたが、先駆的な彼の研究は十分に理解されず、20世紀になって彼のそれぞれの研究分野で再評価されるようになった。19世紀を代表する数学者の一人である。 彼の名前が残っている数学用語に、リーマン積分コーシー=リーマンの方程式、リーマンのゼータ関数、リーマン多様体、リーマン球面、リーマン面、リーマン=ロッホの定理、リーマン予想などがある。

生涯と略歴

リーマンは1826年に現在のドイツのダンネンベルク近くの小村ブレゼレンツに牧師の息子として生まれた。1847年に、ゲッチンゲン大学に入り、ガウスと初めて出会う。その年に、ベルリン大学に移って、ディリクレヤコービアイゼンシュタインから楕円関数論や偏微分方程式論を学ぶ。1849年にゲッチンゲン大学に戻り、1851年にガウスのもとで論文「1複素変数関数の一般理論の基礎づけ」を提出して博士号を取得、1854年には「幾何学の基礎にある仮説について」で大学教授資格を取得した。(ガウスは若い数学者をほとんど評価しなかったが、リーマン幾何学に関する講演を高く賞賛した。)二つの論文によって、複素解析の基礎づけとリーマン幾何学を確立した。1857年に予備教授となり、1859年にディリクレの後継者として正教授になった。1862年に妹の友人エリーゼ・コッホと結婚して、娘が生まれた。だが、この時期から病状が悪化して、イタリアで療養。1866年に旅の途中にマッジョーレ湖の近くで39歳で亡くなった。その生涯についてはリーマン全集に掲載されたデデキントの小伝がある。

主要な業績

複素解析の分野はコーシーが独力で研究していたが、リーマンは1851年の学位論文でコーシー=リーマンの微分方程式を複素関数の定義として(コーシーは複素関数の一種として定義し、単性関数と呼んでいた)、さらに写像リーマン面など新たな成果を組み込むことで複素解析の基礎づけと共に理論的な発展をさせることになった。1854年の教授資格講演「幾何学の基礎にある仮説について」では、初めて多様体の概念を導入して、リーマン幾何学を確立した(後にアインシュタインによって一般相対性理論に応用された)。リーマンが当時の数学者によって高く評価されたのは、学位論文の続編となる1857年の論文「アーベル関数の理論」によるところが大きい。この論文で、彼は楕円関数論での未解決問題であったヤコービの逆問題を解決し、アーベル関数論を完成させた。リーマンは楕円型偏微分方程式によるモジュライの理論の研究の先駆者となり、双有理同値、ヤコビ多様体、テータ関数論などの研究はその後の代数幾何学の研究の端緒となった。
三角級数による表現に関する論文では、リーマン積分の概念を提示することで、実解析の基礎づけに寄与した。数論については1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」が唯一の論文であるが、彼の複素解析の方法の一つの応用である。ゼータ関数についてのリーマン予想を述べ、解析的整数論の重要論文の一つとなった。この予想は21世紀になっても重要な未解決問題の一つとなっている。
リーマン自身は自分の数学理論を物理学に応用したいと考えていたが、彼は準備していた研究を生前に公表するには至らなかった。

リーマンの数学の影響

リーマンの直接の後継者はリーマン・ロッホの定理で知られるグスタフ・ロッホと代数曲線論を発展させたアルフレッド・クレプシュである。だが、この二人は若くして亡くなってしまった。ゴルタンもリーマンとの交流があり、当初はリーマンの研究を継承しようとしていたが、不変式論で独自の研究へと進んでいった。リーマンの影響は直接の接触のなかった次の世代のクライン、ポアンカレ、ヒルベルトによってさまざまな数学的成果へと結び付けられるようになった。
現在では、リーマンの数学的業績の多くがさまざまな分野に浸透しているが、19世紀には、複素解析の基礎づけもリーマン幾何学も正当な評価を得ていなかった。複素解析の分野では、ワイエルシュトラスがリーマンの複素解析の基礎づけに使ったディリクレの原理にギャップがあることを指摘したため、多くの数学者が疑念を共有するようになった。その一方で、ワイエルシュトラスが主導していたベルリン学派の数学者たちはリーマンの複素解析と楕円関数の研究を検討するようになり、シュワルツは幾何学的方法によってリーマンのギャップを解消する交互処理法を導入し、フックスは特異点のまわりでの解の解析接続を研究するためにリーマンの方法を利用するようになった。また、フェリックス・クラインはリーマンの複素解析に関する論文を発表し、この分野での研究を促していった。1900年、ヒルベルトは(ワイエルシュトラスが批判した)ディリクレの原理の問題を解消し、その後、ヘルマン・ワイルがリーマン面を厳密に定義し、さらにディリクレの原理を直交射影の原理として再定式化することで、リーマンの複素解析での業績は再評価されることになった。ポアンカレはリーマンが示した位置解析のアイデアを発展させ、トポロジーを体系的に研究した。また、ポアンカレとケーベは写像定理を一般化した一意化の定理をそれぞれ独立に証明した。ジーゲルはリーマンの遺稿を分析することで、リーマン予想に関するリーマンの研究の中に、すでにその後の研究を先取りする内容が含まれていることを発見した。
フェリックス・クラインはリーマンの複素解析を支持したが、エルランゲン・プログラムとの違いからリーマン幾何学に対しては否定的な姿勢をとる。リーマン幾何学の研究はリーマンが晩年に滞在していたイタリアで発展していった。リーマン自身はリーマン幾何学の計算技法を十分に与えなかったが、それを補うテンソル解析がベルトラミ、レヴィ=チヴィタによって発展させられた。この分野はアインシュタイン相対性理論の登場によって注目されることになる。
ディリクレの示唆によって書かれた三角級数に関する論文は、ルベーグ積分カントール集合論の発展に影響を与えた。

主要論文

  • Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (1851)
  • Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (1854)
  • Theorie der Abel'schen Functionen (1857)
  • Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F(α, β, γ, x) darstellbaren Functionen (1857)

参考文献

  • D.ラウグヴィッツ『リーマン 人と業績』山本敦之訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、1998年 ISBN 443170762X
  • ベルンハルト・リーマン『リーマン論文集』足立恒雄長岡亮介、杉浦光夫訳、朝倉書店〈数学史叢書〉、2004年 ISBN 4254114605
  • E・T・ベル『数学をつくった人びと』第Ⅲ巻、田中勇・銀林浩訳、早川書房〈ハヤカワ文庫 NF 285〉、2003年 ISBN 4150502854
  • :原著:Eric Temple Bell, Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1986. (Hardcover) ISBN 0671464000/(Paperback) ISBN 0671628186
  • 日本数学会 『岩波数学辞典(第3版)』岩波書店、1985年 ISBN 4000800167

関連項目

  • ゲッティンゲン大学
  • ベルリン大学
  • ガウス
  • ヤコビ
  • アイゼンシュタイン
  • デーデキント
  • ディリクレ
  • コーシー・リーマンの関係式
  • リーマン幾何学
  • リーマン積分
  • ゼータ関数
  • リーマン予想

外部リンク

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出典:「フリー百科辞典ウィキペディア」(2009-01-01)
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